专题2.7 角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
特别提醒：
（1）
用符号语言表示角的平分线的性质定理
：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF
;
“
点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度.
【知识点二】角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
特别提醒：
（
1
）
用符号语言表示角的平分线的判定
：
（
2
）
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
；
“点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度；
角平分线的性质与判定是互逆的.
【知识点三】角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于
DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【
考点一
】
角平分线的性质定理
【例1】
如图，在
中，
，
BD
是
的平分线，
于点
E
，点
F
在
BC
上，连接
DF
，且
．
求证：
；
(2)
若
，
，求
AB
的长．
【答案】
（
1
）
证明见解析
(2)10
【分析】（1）由角平分线的性质可得
，证明
，进而结论得证；
（2）证明
，可得
，根据
计算求解即可．
（1）证明：（1）∵
，
∴
，
又∵
BD
是
的平分线，
，
∴
，
，
在
和
中，
∵
，
∴
，
∴
．
（2）解：由（1）可得
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
BD
是
的平分线，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
AB
的长为10．
【
点拨
】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等．
【
举一反三
】
【变式1】
如图，已知在四边形
中，
，
平分
，
，
，
，则四边形
的面积是
（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
【答案】B
【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：
如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形
的面积
故选B.
【
点拨
】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2】
如图，
AD
是△
ABC
的角平分线，
DE
、
DF
分别是△
ABD
和△
ACD
的高．
（1）求证：
AD
垂直平分
EF
；
（2）若
AB
+
AC
＝10，
S
△
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