专题
27
.
36
相似三角形几何模型-
双垂线等角
（知识讲解
）
【非共顶点双垂线等角模型】
【双垂线共顶点等角模型】
【双垂线共顶点等角模型拓展】
【典型例题】
类型一、
非共顶点双垂线等角模型
1
．
如图，在
中，
CD
是斜边
AB
上的高．
求证：
．
【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
解：
证明：如图，
∵在
中，
CD
是斜边
AB
上的高
∴
∵
是公共角
∴
．
【点拨】
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．
举一反三
【变式1】
（1）问题情境：如图1，
Rt
中，∠
ACB
＝90°，
CD
⊥
AB
，我们可以利用
与
相似证明
AC
2
＝
AD
•
AB
，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
（2）结论运用：如图2，正方形
ABCD
的边长为6，点
O
是对角线
AC
，
BD
的交点，点
E
在
CD
上，过点
C
作
CF
⊥
BE
，垂足为
F
，连接
OF
，试利用射影定理证明
．
【分析】
（1）由
AA
证明
，再结合相似三角形对应边成比例即可解题；
（2）根据正方形的性质及射影定理解得
BC
2
＝
BO
•
BD
，
BC
2
＝
BF
•
BE
，再运用SAS证明
△
BOF
∽△
BED
即可．
证明：（1）如图1，
（2）如图2，
∵四边形
ABCD
为正方形，
∴
OC
⊥
BO
，∠
BCD
＝90°，
∴
BC
2
＝
BO
•
BD
，
∵
CF
⊥
BE
，
∴
BC
2
＝
BF
•
BE
，
∴
BO
•
BD
＝
BF
•
BE
，即
，
而∠
OBF
＝∠
EBD
，
∴△
BOF
∽△
BED
．
【点拨】
本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式
2
】
【问题情境】如图1，在
中，
，垂足为
D
，我们可以得到如下正确结论：①
；②
；③
，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．
(1)请证明“射影定理”中的结论③
．
(2)【结论运用】如图2，正方形
的边长为6，点
O
是对角线
、
的交点，点
E
在
上，过点
C
作
，垂足为
F
，连接
．
①
求证：
．
②
若
，求
的长．
【答案】(1)
见分析
；(2)①
见分析
；②
．
【分析】
（1）由
AA
证明
，再由相似三角形对应边称比例得到
，继而解题；
（2）①由“射影定理”分别解得
，
，整理出
，再结合
即可证明
；
②由勾股定理解得
，再根据
得到
，代入数值解题即可．
(1)证明：
(2)①
四边形
ABCD
是正方形
②
在
中，
在
，
．
【点拨】
本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关
专题27.36 相似三角形几何模型-双垂线等角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx
