专题1.26 全等三角形几何模型（半角模型）（分层练习）（综合练）
【
知识与方法
】
半角模型定义：
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型 。
半角模型主要结论：
半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。
即如图中，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在BC和CD边上，满足∠EAF=45°，连接EF，则有：EF=BE+DF。
证明：
【证法一】（旋转法）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°；
将△ADF绕点A旋转至△ABF'的位置（F的对应点为F'），则△ADF≌△ABF'，
∴∠BAF'=∠DAF，BF'=DF，AF=AF'；
∴∠EAF'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF，
易证△AEF≌△AEF'(SAS)，
∴EF=EF'=BF'+BE=DF+BE，
即EF=BE+DF。
【证法二】（
截长补短法
）
延长CB至点F'，使BF'=DF，连接AF'。
易证△ADF≌△ABF'(SAS)，
∴AF=AF'，∠BAF'=∠DAF，
∴∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF，
则△AEF'≌△AEF(SAS)，
∴EF=EF'=BF'+BE=BE+DF，
即EF=BE+DF。
（注：若延长CD至点E'，使DE'=BE亦可，证法类同）
一、单选题
1．如图所示，在Rt△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
、
E
是斜边
BC
上的两点，且∠
DAE
＝45°，将△
ADC
绕点
A
按顺时针方向旋转90°后得到△
AFB
，连接
EF
，有下列结论：①
BE
＝
DC
；②∠
BAF
＝∠
DAC
；③∠
FAE
＝∠
DAE
；④
BF
＝
DC
．其中正确的有（ ）
A．①②③④
B．②③
C．②③④
D．③④
2．如图，在
中，
，
，
D
、
E
是斜边
上两点，且
，若
，
，
，则
与
的面积之和为（
）
A．36
B．21
C．30
D．22
二、填空题
3．如图，正方形
ABCD
的边长为6，点
E
，
F
分别在边
AB
，
BC
上，若
F
是
BC
的中点，且∠
EDF
＝45°，则
DE
的长为
．
4．如图，在边长为6的正方形
ABCD
内作∠
EAF
＝45°，
AE
交
BC
于点
E
，
AF
交
CD
于点
F
，连接
EF
，将
ADF
绕点
A
顺时针旋转90°得到
ABG
，若
BE
＝2，则
EF
的长为
．
5．在
中，
，点
在
边上，
．若
，则
的长为
．
6．如图，在Rt
△
ABC
和Rt
△
BCD
中，∠
BAC
＝∠
BDC
＝90°，
BC
＝4，
AB
＝
AC
，∠
CBD
＝30°，
M
，
N
分别在
BD
，
CD
上，∠
MAN
＝45°，则
△
DMN
的周长为
．
三、解答题
7．如图，等腰直角三角形
ABC
中，∠
BAC
= 90°，
AB
=
AC
，点
M
，
N
在边
BC
上，且∠
MAN
=45°．若
BM
= 1，
CN
=3，求
MN
的长．
8．如图，已知：正方形
，点
，
分别
专题1.26 全等三角形几何模型（半角模型）（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx
