专题2.4 线段的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

专题2.4 线段的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解） 线段的垂直平分线 定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 特别提醒 ： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【 考点一 】 线段垂直平分线的性质 【例1】 如图，四边形 ABCD 中， AD BC ， E 为 CD 的中点，连结 BE 并延长交 AD 的延长线于点 F ， 求证： △BCE ≌ △FDE ； 连结 AE ，当 AE ⊥ BF ， BC =2， AD =1时，求 AB 的长． 【答案】(1) 见分析； (2) AB 的长为 3 【分析】（1）根据 AD BC 得到∠ F ＝∠ EBC ，∠ FDE ＝∠ C ，根据点 E 为 CD 的中点得到 ED ＝ EC ，即可根据 AAS 证明 △BCE ≌ △FDE ； （2）根据△ FDE ≌△ BCE 得到 BE ＝ EF ， BC ＝ DF =2，根据 AE ⊥ BF 得到 AE 为线段 BF 垂直平分线，得到 AB ＝ AF ，即可得到 AB ＝ AF ＝ AD + DF ＝ AD + BC ＝1+2＝3． （1）解： ∵ AD BC ， ∴∠ F ＝∠ EBC ，∠ FDE ＝∠ C ， ∵点 E 为 CD 的中点， ∴ ED ＝ EC ， 在△ FDE 和△ BCE 中， ， ∴△ FDE ≌△ BCE （ AAS ）； （2）解：∵△ FDE ≌△ BCE ， ∴ BE ＝ EF ， BC ＝ DF =2， ∵ AE ⊥ BF ， ∴ AE 为线段 BF 垂直平分线， ∴ AB ＝ AF ， ∴ AB ＝ AF ＝ AD + DF ＝ AD + BC ＝1+2＝3， ∴ AB 的长为3． 【点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟知全等三角形的判定定理与性质定理，证明 △BCE ≌ △FDE 是解题关键 【 举一反三 】 【变式1】 如图所示， 是 的角平分线， 是 的垂直平分线，交 的延长线于点 F ，连结 ，求证： ． 【分析】根据线段的垂直平分线得出 AF ＝ DF ，推出∠ FAD ＝∠ ADF ，根据角平分线得出∠ DAB ＝∠ CAD ，推出∠ FAC ＝∠ B ，根据∠ FAB ＝∠ BAC ＋∠ FAC 和∠ ADF ＝∠ B ＋∠ BAC 推出即可． 解： 证明：∵ EF 是 AD 的垂直平分线， ∴ AF ＝ DF ， ∴∠ FAD ＝∠ ADF ， ∵∠ FAD ＝∠ FAC ＋∠ CAD ，∠ ADF ＝∠ B ＋∠ DAB ， ∵ AD 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ DAB ＝∠ CAD ， ∴∠ FAC