专题4.11 相似三角形几何模型（旋转模型）（培优练）
1．（2023秋·九年级课时练习）如图①，四边形
是正方形，
，
分别在边
、
上，且
，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将
绕点
顺时针旋转
，点
与点
重合，连接
、
、
．
（
1
）
试判断
，
，
之间的数量关系；
（
2
）
如图②，点
、
分别在正方形
的边
、
的延长线上，
，连接
，请写出
、
、
之间的数量关系，并写出证明过程．
（
3
）
如图
③
，在四边形
中，
，
，
，点
，
分别在边
，
上，
，请直接写出
，
，
之间数量关系．
2．（2023·全国·九年级专题练习）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有
角的三角尺放在正方形
中，使
角的顶点始终与正方形的顶点
C
重合，绕点
C
旋转三角尺时，
角的两边
，
始终与正方形的边
，
所在直线分别相交于点
M
，
N
，连接
，可得
．
探究一：如图②，把
绕点
C
逆时针旋转
得到
，同时得到点
H
在直线
上．求证：
；
探究二：在图②中，连接
，分别交
，
于点
E
，
F
．求证：
；
探究三：把三角尺旋转到如图③所示位置，直线
与三角尺
角两边
，
分别交于点
E
，
F
，连接
交
于点
O
，求
的值．
3．（2023·全国·九年级专题练习）在
中，
，将
绕点
顺时针旋转得到
，其中点
的对应点分别为点
．
（
1
）
如图1，当点
落在
的延长线上时，求
的长；
（
2
）
如图2，当点
落在
的延长线上时，连接
，交
于点
，求
的长；
（
3
）
如图3，连接
，
，直线
交
于点
，点
为
的中点，连接
．在旋转过程中，
是否存在最小值？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形
中，
，
，
，
，
，
于点
．将
与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点
与
重合，其中
，
，
．
绕点
旋转，且在
旋转过程中，
分别交边
于点
．
（
1
）
求证：四边形
为矩形；
（
2
）
求
的长；
（
3
）
若
，求
的长；
（
4
）
恰好为等腰三角形，求
．
5．（2023·全国·九年级专题练习）【问题呈现】
和
都是直角三角形，
，连接
，
，探究
，
的位置关系．
（
1
）
如图1，当
时，直接写出
，
的位置关系：____________；
（
2
）
如图2，当
时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（
3
）
当
时，将
绕点
C
旋转，使
三点恰好在同一直线上，求
的长．
6．（2023·全国·九年级假期作业）如图①，点
E
为正
专题4.11 相似三角形几何模型（旋转模型）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx
