专题1.29 通过作辅助线证明三角形全等方法与技巧（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

专题1.2 9 通过作辅助线证明三角形全等方法与技巧（分层练习）（综合练） 【方法一】连接两点 1．已知点 P 是线段 MN 上一动点，分别以 PM ， PN 为一边，在 MN 的同侧作△ APM ，△ BPN ，并连接 BM ， AN ． （Ⅰ）如图1，当 PM ＝ AP ， PN ＝ BP 且∠ APM ＝∠ BPN ＝90°时，试猜想 BM ， AN 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△ APM ，△ BPN 都是等边三角形时，（Ⅰ）中 BM ， AN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接 AB 得到图3，当 PN ＝2 PM 时，求∠ PAB 度数． 2．（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明） （2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若 ，求证：AD平分 . 【方法二】作平行线法 3．如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接 交 于点 ． 求让： 4．已知在等腰 △ ABC 中， AB = AC ，在射线 CA 上截取线段 CE ，在射线 AB 上截取线段 BD ，连接 DE ， DE 所在直线交直线 BC 与点 M ．请探究： (1) 如图（1），当点 E 在线段 AC 上，点 D 在 AB 延长线上时，若 BD = CE ，请判断线段 MD 和线段 ME 的数量关系，并证明你的结论． (2) 如图（2），当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在 AB 的延长线上时，若 BD = CE ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3) 如图（3），当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在线段 AB 上（点 D 不与 A ， B 重合）， DE 所在直线与直线 BC 交于点 M ，若 CE ＝2 BD ，请直接写出线段 MD 与线段 ME 的数量关系． 【方法三】作垂线法 5．如图，在 中， ， ， ， ，延长 交 于 . 求证： . 6．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图， E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且∠ BAE =∠ CDE ． 求证： AB = CD ． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证 AB = CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明． 【方法四】倍长中线法 7．如图， 为 的中线， 在 上， 交 于 ，且 ．求证： ． 8．如图，在 中， 是 上一点，连接 ，已知 ， ， 是 的中线．求证： ．（提示：延长 至 ，使 ，连接 ） 【方法五】截长补短法 9．如图，在 中， 平分 交 于点 D ，若 ，求