专题28.6 锐角三角函数值与锐角关系（知识讲解）
【学习目标】
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：
，
；
(2)平方关系：
；
(3)倒数关系：
或
；
(4)商数关系：
．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、
求证同角三角函数关系式
1．
①sin
2
A+cos
2
A=________，②tanA•cotA=________．
【答案】 1 1
解：
如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为
，
则sinA=
，cosA=
，tanA=
，cotA=
，
，
∴（1）sin
2
A+cos
2
A=
；
（2）tanA•cotA=
.
【
点拨
】
解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.
举一反三：
【变式1】
下列结论中（其中
，
均为锐角），正确的是___________．（填序号）
①
；②
；③当
时，
；④
．
【答案】①③④
【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
解：
①如图，在
中，
∵
，
，
∴
，故①正确；
②若
，则
，
，
∴
∴
，故②错误；
③当
时，
，
∴
越大，对边越大，且越接近斜边，
∴
越大，
∴当
时，
，故③正确；
④∵
，
，
，
∴
，故④正确．
故答案为：①③④．
【点拨】
本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
【变式2】
已知：
，
，
，请你根据上式写出你发现的规律________．
【答案】
【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
解：
根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
规律为：
.
故答案为
.
【点拨】
本题考点：同角三角函数的关系.
类型
二
、
利用同角三角函数关系求值
2
．
已知
，求
的值．
【答案】
【分析】首先根据同角的三角函数关系进行变形，得到
，然后对原式进行替换求解即可．
解：
∵
，
∴
，
∴
．
【点拨】
本题考查同角的三角函数关系，锐角三角函数的混合运算，理解基本定义，熟练运用整体代入思想是解题关键．
举一反三：
【变式1】
计算：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）2.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；
(2)根据直角三角形中tanA=
，sin
2
A+cos
2
A=1，sinA=cosB计算.
解：
原式
；
原式
.
故答
专题28.6 锐角三角函数值与锐角关系（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx
