专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】
角平分线的性质
1.
性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等
.
2.几何语言：
∵
DC
平分∠ADB
又
∵
PE⊥AD
,
PF⊥BD
, 垂足为E、F，
∴
PE=PF
特别指出：解题时一定要写上
E⊥AD
,
PF⊥BD
这个条件
【知识点2】
角平分线的判定
1.
判定：
在角的内部
到角两边距离相等的点在
这个
角的平分线上.
2.几何语言：
∵PE⊥
DA,
PF⊥
DB , 垂足为E、F，
又
∵
PE=PF
∴
DC
平分∠ADB
,
即点P在
∠ADB
的平分线上。
【知识点3】
尺规作图——作角平分线
作角平分线的方法与步骤：如右图所示
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交
角的两边
D
、
E.
（2）分别以D、E为圆心，大于
DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）
作
射线OC.
∴
射线OC即为所求.
【知识点4】三角形的内心
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做
这个
三角形的内心
，
三角形内心到这个三角形
三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为
，旁心为
，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
【
考点一
】
角平分线
➼➻
角平分线性质证明角相等
【例1】
如图，
，
是
的中点，
平分
，求证：
平分
．
【分析】过点
M
作
于点
E
，根据角平分线的性质及判定，即可证得．
解：
证明：如图：过点
作
，垂足为
，
平分
，
，
，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又
，
，
，
，
平分
（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【点拨】
本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键．
【
举一反三
】
【变式1】
如图，
平分
，
于点
，点
是射线
上的一个动点，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连接
PQ
，当
PQ
⊥
OM
时，根据角平分线的性质得出
PQ
=
PA
，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．
解：
连接
PQ
，
当
PQ
⊥
OM
时，
∵
OP
平分∠
MON
，
PQ
⊥
OM
，
PA
⊥
ON
，
∴
PQ
=
PA
，
此时点
P
到
OM
的距离
PQ
最小，
∴
PA
≤
PQ
，
故选：D．
【点拨】
题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键．
【变式2】
如图
专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx
