专题
27
.42相似三角形与旋转综合专题（培优篇）
（专项练习）
1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点
A
为公共顶点，
．如图②，若△
ABC
固定不动，把△
ADE
绕点
A
逆时针旋转，使
AD
、
AE
与边BC的交点分别为
M
、
N
点
M
不与点
B
重合，点
N
不与点
C
重合
．
【探究】求证：
．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)
的值为______．
(2)若
，则
MN
的长为______．
2．如图，以
的两边
、
分别向外作等边
和等边
，
与
交于点
，已知
，
，
．
（1）求证：
；
（2）求
的度数及
的长；
（3）若点
、
分别是等边
和等边
的重心（三边中线的交点），连接
、
、
，作出图象，求
的长．
3．如图，四边形
ABCD
和四边形
AEFG
都是正方形，
C
，
F
，
G
三点在一直线上，连接
AF
并延长交边
CD
于点
M
．
（1）求证：△
MFC
∽△
MCA
；
（2）求证△
ACF
∽△
ABE
；
（3）若
DM
=1，
CM
=2，求正方形
AEFG
的边长．
4．如图，在Rt
△
ABC
中，∠
ACB
=90°，∠
B
=30°，点
M
是
AB
的中点，连接
MC
，点
P
是线段
BC
延长线上一点，且
PC
＜
BC
，连接
MP
交
AC
于点
H
．将射线
MP
绕点
M
逆时针旋转60°交线段
CA
的延长线于点
D
．
（1）找出与∠
AMP
相等的角，并说明理由．
（2）若
CP
=
BC
，求
的值．
5．如图，正方形
ABCD
，对角线
AC
，
BD
相交于
O
，
Q
为线段
DB
上的一点，
，点
M
、
N
分别在直线
BC
、
DC
上．
（1）如图1，当
Q
为线段
OD
的中点时，求证：
；
（2）如图2，当
Q
为线段
OB
的中点，点
N
在
CD
的延长线上时，则线段
DN
、
BM
、
BC
的数量关系为
；
（3）在（2）的条件下，连接
MN
，交
AD
、
BD
于点
E
、
F
，若
，
，求
EF
的长．
6．（1）尝试探究：如图①，在
中，
，
，点
、
分别是边
、
上的点，且EF∥AB．
①
的值为_________；
②直线
与直线
的位置关系为__________；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的
绕点
顺时针旋转，连接
，
，则在旋转的过程中，请判断
的值及直线
与直线
的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若
，
，在旋转过程中，当
三点在同一直线上时，请直接写出此时线段
的长．
7．如图，在Rt
△
ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将
△
EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，
=
； ②当α＝180°时，
=
；
（2）试判断：当0°≤α＜360°时，
的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（
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