专题
27.19
相似三角形的性质(知识讲解)
【学习目标】
理解并掌握
相似三角形的性质,
注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上;
灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算;
运用相似三角形的性质解决综合问题。
【要点梳理】
性质
1
:
相似三角形的对应角相等,对应边
对应成比例
.
性质
2
:
相似三角形中的重要线段的比等于相似比
.
相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比
.
特别说明
:
要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段
.
性质
3
:
相似三角形周长的比等于相似比
如图一:
∽
,则
由比例性质可得:
图一
图二
性质
4
:
相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二,
∽
,则
分别
作出
与
的高
和
,则
特别说明
:
相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的
.
【典型例题】
类型一、
相似三角形性质的应用
1
.
如图,在
△
ABC
,
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点,
△
ADE
∽△
ACB
,相似比为
AD
:
AC
=
2
:
3
,
△
ABC
的角平分线
AF
交
DE
于点
G
,交
BC
于点
F
,求
AG
与
GF
的比.
【答案】
2
:
1
【分析】
根据相似三角形的性质得出
∠
ADE
=
∠
ACB
,
∠
AED
=
∠
ABC
,因为
AF
是
∠
BAC
的平分线,所以
∠
BAF
=
∠
CAF
,然后根据三角形外角的性质求得
∠
AGD
=
∠
AFC
,即可判定
△
AGD
∽△
AFC
,根据相似三角形的性质求得
=
=
,即得
AG
:
GF
=
2
:
1
.
解:
∵△
ADE
∽△
ACB
,
∴∠
ADE
=
∠
ACB
,
∠
AED
=
∠
ABC
,
∵
AF
是
∠
BAC
的平分线,
∴∠
BAF
=
∠
CAF
,
∵∠
AGD
=
∠
CAF
+
∠
AED
,
∠
AFC
=
∠
BAF
+
∠
ABC
,
∴∠
AGD
=
∠
AFC
,
∴△
AGD
∽△
AFC
,
∴
=
=
,
∴
AG
:
GF
=
2
:
1
.
【点拨】
本题考查了三角形相似的判定和性质,熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键.
举一反三:
【变式
1
】
如图,正方形
ABCD
的边长为
2
,
BE
=
CE
,
MN
=1
,线段
MN
的两端在边
CD
,
AD
上滑动,当
DM
为多长时,
△
ABE
与以点
D
、
M
、
N
为顶点的三角形相似?请说明理由。
【答案】
或
.
【分析】因为
∠
B
=
∠
D
=
90°
,所以只有两种可能,假设
△
ABE
∽△
NDM
或
△
ABE
∽△
MDN
,分别求出
DM
的长.
解:
当
或
时,
△
ABE
与以点
D
,
M
,
N
为顶点的三角形相似,
理由:
∵
正方形
ABCD
边长是
2
,
BE
=
CE
,
∴
BE
=
1
,
∴
AE
=
,
①
假设
△
专题27.19 相似三角形的性质(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版).docx