专题27.19 相似三角形的性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

专题 27.19 相似三角形的性质（知识讲解） 【学习目标】 理解并掌握 相似三角形的性质， 注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上； 灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算； 运用相似三角形的性质解决综合问题。 【要点梳理】 性质 1 ： 相似三角形的对应角相等，对应边 对应成比例 . 性质 2 ： 相似三角形中的重要线段的比等于相似比 . 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 . 特别说明 ： 要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段 . 性质 3 ： 相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽ ，则 由比例性质可得： 图一 图二 性质 4 ： 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二， ∽ ，则 分别 作出 与 的高 和 ，则 特别说明 ： 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的 . 【典型例题】 类型一、 相似三角形性质的应用 1 ． 如图，在 △ ABC ， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点， △ ADE ∽△ ACB ，相似比为 AD ： AC ＝ 2 ： 3 ， △ ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G ，交 BC 于点 F ，求 AG 与 GF 的比． 【答案】 2 ： 1 【分析】 根据相似三角形的性质得出 ∠ ADE ＝ ∠ ACB ， ∠ AED ＝ ∠ ABC ，因为 AF 是 ∠ BAC 的平分线，所以 ∠ BAF ＝ ∠ CAF ，然后根据三角形外角的性质求得 ∠ AGD ＝ ∠ AFC ，即可判定 △ AGD ∽△ AFC ，根据相似三角形的性质求得 ＝ ＝ ，即得 AG ： GF ＝ 2 ： 1 ． 解： ∵△ ADE ∽△ ACB ， ∴∠ ADE ＝ ∠ ACB ， ∠ AED ＝ ∠ ABC ， ∵ AF 是 ∠ BAC 的平分线， ∴∠ BAF ＝ ∠ CAF ， ∵∠ AGD ＝ ∠ CAF + ∠ AED ， ∠ AFC ＝ ∠ BAF + ∠ ABC ， ∴∠ AGD ＝ ∠ AFC ， ∴△ AGD ∽△ AFC ， ∴ ＝ ＝ ， ∴ AG ： GF ＝ 2 ： 1 ． 【点拨】 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键． 举一反三： 【变式 1 】 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ， BE = CE ， MN =1 ，线段 MN 的两端在边 CD ， AD 上滑动，当 DM 为多长时， △ ABE 与以点 D 、 M 、 N 为顶点的三角形相似？请说明理由。 【答案】 或 ． 【分析】因为 ∠ B ＝ ∠ D ＝ 90° ，所以只有两种可能，假设 △ ABE ∽△ NDM 或 △ ABE ∽△ MDN ，分别求出 DM 的长． 解： 当 或 时， △ ABE 与以点 D ， M ， N 为顶点的三角形相似， 理由： ∵ 正方形 ABCD 边长是 2 ， BE ＝ CE ， ∴ BE ＝ 1 ， ∴ AE ＝ ， ① 假设 △