3.1.1 椭圆及其标准方程-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）.docx

3.1.1 椭圆及其标准方程 知识储备 1 ．椭圆的定义 平面内到两定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫做椭圆．两定点 F 1 ， F 2 叫做椭圆的焦点． 集合 P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且 a ， c 为常数． (1) 当 2 a ＞ | F 1 F 2 | 时， M 点的轨迹是椭圆； (2) 当 2 a ＝ | F 1 F 2 | 时， M 点的轨迹是线段 F 1 F 2 ； (3) 当 2 a ＜ | F 1 F 2 | 时， M 点不存在． 2 ．椭圆的标准方程 标准方程 ( a ＞ b ＞ 0) ( a ＞ b ＞ 0) 典例剖析 [ 典 例精析 ] (1) 已知两圆 C 1 ： ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 169 ， C 2 ： ( x ＋ 4) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，动圆 M 在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内切，和圆 C 2 相外切，则动 圆 圆心 M 的轨迹方程为 ( 　　 ) A. 　　　　　 B. C. D. (2) 已知 F 1 ， F 2 是椭圆 C ： ( a ＞ b ＞ 0) 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且 ⊥ . 若 △ PF 1 F 2 的面积为 9 ，则 b ＝ __________. (3) 已知 F 是椭圆 5 x 2 ＋ 9 y 2 ＝ 45 的左焦点， P 是此椭圆上的动点， A (1,1) 是一定点，则 | PA | ＋ | PF | 的最大值为 ________ ，最小值为 ________ ． [ 解析 ] 　 (1) 设圆 M 的半径为 r ， 则 | MC 1 | ＋ | MC 2 | ＝ (13 － r ) ＋ (3 ＋ r ) ＝ 16 ＞ 8 ＝ | C 1 C 2 | ， 所以 M 的轨迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的椭圆，且 2 a ＝ 16,2 c ＝ 8 ， 故所求的轨迹方程为 . (2) 设 | PF 1 | ＝ r 1 ， | PF 2 | ＝ r 2 ，则 ∴ 2 r 1 r 2 ＝ ( r 1 ＋ r 2 ) 2 － ( ) ＝ 4 a 2 － 4 c 2 ＝ 4 b 2 ， ∴ S △ PF 1 F 2 ＝ r 1 r 2 ＝ b 2 ＝ 9 ， ∴ b ＝ 3. (3) 椭圆方程化为 ， 设 F 1 是椭圆的右焦点，则 F 1 (2,0) ， ∴ | AF 1 | ＝ ， ∴ | PA | ＋ | PF | ＝ | PA | － | PF 1 | ＋ 6 ， 又－ | AF 1 |≤| PA | － | PF 1 |≤| AF 1 |( 当 P ， A ， F 1 共线时等号成立 ) ， ∴ 6 － ≤| PA | ＋ | PF |≤6 ＋ . [ 答案 ] 　 (1)D 　 (2)3 　 (3)6 ＋ 　 6 － 　　 1 ．在本例 (2) 中增加条件 “ △ PF 1 F 2 的周长为 18” ，其他条件不变，则该椭圆的方程为 ________________ ． 解析：由原题得 b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 9 ， 又 2 a ＋ 2 c ＝ 18 ， 所以 a － c ＝ 1 ，解得 a ＝ 5 ， 故椭圆方程为 . 答案： 2 ． ( 变条件 ) 将本例 (2) 中的条件 “ ⊥ ”“ △ PF 1 F 2 的面积为 9” 变为 “ ∠ F 1 PF 2 ＝ 60° ”