专题2.15 等边三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

专题2.15 等边三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】等边三角形的定义 等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 特别提醒 ： 由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． 【知识点二】等边三角形的性质 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 【知识点三】等边三角形的判定 等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点三】 含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　 特别提醒 ： 这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【 考点一 】 等边三角形 ➼➻ 等边三角形的性质 ➼➻ 求值 ✭★ 证明 【例1】 如图，在等边 中， 与 交于点 F ．给出下列二个条件： ① ，② ． 请从①②中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明．    【答案】选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析 【分析】当选择②为条件，①为结论时，由等边三角形的性质可得 、 ，由条件得到 ，然后再证 ，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．当选择①为条件，②为结论时，也可证明 ，进而得到结论. 解： 当选择②为条件，①为结论，证明如下 ： 证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 当选择②为条件，①为结论，证明如下 ： 证明： 是等边三角形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ∴ ． 【 点拨 】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得 是解答本题的关键． 【 举一反三 】 【变式1】 如图：等边三角形 ABC 中， BD ＝ CE ， AD 与 BE 相交于点 P ，则∠ APE 的度数是（      ） A．45° B．55° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质可得 ， ，再根据三角形全等的判定定理证出 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后根据三角形的外角性质即可得． 解： ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【 点拨 】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 【变式2】 如图，∠ ABC ＝60°，点