专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】垂直线段最短问题； 【知识点二】将军饮马问题； 【知识点三】造桥选址问题． 【 考点一 】 垂线段最短问题 ➼➻➸ 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 【例1】 如图，在锐角三角形 中， ， ， 的平分线交 于点 D ，点 M 、 N 分别是 和 上的动点，则 的最小值为（       ） A． B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】如 下 图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得 的最小值为 ，然后根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 解：如图，在 上取一点 E ，使 ，连接 ， 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ， 又由垂线段最短得：当 时， 取得最小值， ， ， 解得 ， 即 的最小值为5， 故选D． 【 点拨 】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出 取得最小值时 的位置是解题关键． 【 举一反三 】 【变式】 如图，在锐角 中， ， ， 平分 ， 、 分别是 和 上 的动点，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值. 解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上） ∵ 平分 ，△ABC是锐角三角形 ∴R必在AC上 ∵N关于AD的对称点是R ∴MN=MR ∴BM+MN=BM+MR ∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短） ∵ ， ∴ =18 ∴BE= cm 即BM+MN的最小值是 cm. 【 点拨 】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值. 【 考点二 】 垂线段最短问题 ➼➻➸ 动点所在的直线隐藏型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 【例2】 通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图， 为 的中点， ， ， ， ，则 的最大值是 ．    【答案】9.5 【分析】作 A 关于 的对称点 M ， B 关于 的对称点 N ，连接 ， ， ， ， ，利用轴对称的性质得出 ， ， ， ， ， ，则可求出 ， ，进