专题27.8 由平行线截得的比例线段（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

专题 27.8 由平行线截得的比例线段（知识讲解） 【学习目标】 1. 掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容 2. 会运用平行线分线段成比例定理解决问题 3. 体会转化、特殊到一般的数学思想 【要点梳理】 要点 一 ： 平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 , 那么在其他直线上截得的线段也相等 . 几何语言： 图一 拓展： . 如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等 , 那么在其他直线上截得的线段也相等； . 经过三角形一边中点 且平行于另一 边 的直线平分第三边 ； 图二 3 ）、经过梯形 一 腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 要点二： 平行线分线段成比例定理 1 . 平行于三角形一边的直线与其它两边 ( 或两边的延长线 ) 相交 , 截得的对应线段成比例 . 平行线分线段成比例 定理 2. 平行于三角形一边的直线与其它两边 ( 或两边的延长线 ) 相交 , 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【典型例题】 类型一、 由平行线判断比例线段 1 ． 如图， l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， AB ＝ 3 ， AD ＝ 2 ， DE ＝ 4 ， EF ＝ 7.5 ，求 BC 、 BF 的长． 【答案】 6 ， 2.5 【分析】由平行线分线段成比例解答即可． 解： ∵l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， ∴ ， ∵AB=3 ， AD=2 ， DE=4 ， ∴ ， 解得： BC=6 ， ∵l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， ∵AB=3 ， AD=2 ， DE=4 ， EF=7.5 ， ∴ ， ∴ ， 解得： BF=2.5 ． 【点拨】 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段 AB 与已知条件中的线段之间的关系． 【变式 1 】 如图所示， l 1 l 2 l 3 ，且 AB ＝ 2 BC ， DF ＝ 5 cm ， AG ＝ 4 cm ．求 GF ， AF ， EF 的长． 【答案】 2 cm 、 6cm 、 cm 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理计算即可． 解： ∵ l 2 ∥ l 3 ， ∴ ＝ ． 而 AG ＝ 4 cm ， AB ＝ 2 BC ， ∴ ＝ 2 ． ∴ GF ＝ 2 cm ． ∴ AF ＝ AG ＋ GF ＝ 4 ＋ 2 ＝ 6 （ cm ）． ∵ l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ， ∴ ＝ ，即 ， ∴ EF ＝ cm ． 【点拨】 本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例． 【变式 2 】 如图，在 △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 H 在边 BC 上，且 AH ＝ HC ， 交 AC 于点 G ， BD ＝ 7 ， AD ＝ 5 ， DH ＝ 3 ． 求证： AH ⊥ BC ； (2) 求 AG 的长． 【答案】 (1) 见分析 (2