专题
1.7
二次函
数
的图象与性质（知识讲解）
【学习目标】
理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式
；
会用描点法画出二次函数
的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念
；
掌握
二次函数
的图象
的性质，
掌握二次函数
与
之间的关系；（上加下减）
.
【要点梳理】
一、
的性质：
形如
的二次函数，它的图像的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c），c的符号决定抛物线由y=ax
2
上下平移，简单的说，就是“
上加下减”。
的符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
最值
向上
轴
时，
随
的增大而增大；
时，
随
的增大而减小；
时，
最小值
= k
向下
轴
时，
随
的增大而减小；
时，
随
的增大而增大；
时，
最小值
= k
二、解读
：
（1）函数
的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；
（2）抛物线
可以看作是由抛物线
向上或向下平移∣c∣个单位而得到的
。当k＞0时，将抛物线y=ax
2
(a是常数且a≠0)向上平移k个单位；当k＜0时，将抛物线y=ax
2
(a是常数且a≠0)向下平移∣k∣个单位。
（3）实际上在a相等的情况下，二次函数
的图像与二次函数
的图像形状、开口方向、对称轴等完全相同，只不过位置发生了变化，顶点
坐标由（0，0）变成了（0，k）。
（4）在几条抛物线的表达式中，若∣a∣相等，则形状相同；若a相等，则其开口方向及形状均相同；若a互为相反数，则其形状相同、开口方向相反。
三、巧记：如果要画抛物线，平移或者去描点，两条途径任您选；
列表描点后连线，平移规律记心间，k正向上负向下。
【
典型
例题】
类型一、
1．
已知：二次函数
y
＝
x
2
﹣
1
．
(1)
写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)
画出它的图象．
【答案】
(1)
抛物线的开口方向向上，对称轴为
y
轴，顶点坐标为（
0
，﹣
1
）．
(2)
图像
见分析
．
【分析】
（
1
）根据二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
，当
a
>0
时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为
(
h
，
k
)
及对称轴
x
=
h
；
（
2
）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与
x
轴、
y
轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
(1)
解：（
1
）
∵
二次函数
y
＝
x
2
﹣
1
，
∴
抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（
0
，﹣
1
），对称轴为
y
轴；
(2)
解：在
y
＝
x
2
﹣
1
中，令
y
＝
0
可得
x
2
﹣
1=0
．
解得
x
＝﹣
1
或
1
，所以抛物线与
x
轴的交点坐标为
(-1
，
0)
和
(1
，
0)
；
令
x
＝
0
可得
y
＝﹣
1
，所以抛物线与
y
专题1.7 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx
