专题4.4 黄金分割（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

专题 4 . 4 黄金分割 （知识讲解） 【学习目标】 1 、理解黄金分割的概念； 2 、会找一条线段的黄金分割点； 3 、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。 【要点梳理】 要点一： 黄金分割的定义： 点 C 把线段 AB 分割成 AC 和 CB 两段 , 如果 , 那么线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比 . 特别说明 ： ≈ 0.618AB( 叫做黄金分割值 ). 要点二： 作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段 AB ，按照如下方法作图： （ 1 ）经过点 B 作 BD ⊥ AB ，使 BD = AB . （ 2 ）连接 AD ，在 DA 上截取 DE = DB . （ 3 ）在 AB 上截取 AC = AE . 则点 C 为线段 AB 的黄金分割点 . 特别说明 ： 一条线段的黄金分割点有两个 . 【典型例题】 类型一、 黄金分割的作法 1 ． 作出线段 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】 作法：（ 1 ）延长线段 至 ，使 ，分别以 、 为圆心，以大于等于线段 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，连接 ，则 ，在 上取点 ，使 ； （ 2 ）连接 ，在 上截取 ．（ 3 ）在 上截取 ．点 就是线段 的黄金分割点． 解：如图，点 即为所求． 【点拨】 本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图． 【变式】 如图，设线段 AC ＝ 1. （ 1 ）过点 C 画 CD⊥AC ，使 CD AC ；连接 AD ，以点 D 为圆心， DC 的长为半径画弧，交 AD 于点 E ；以点 A 为圆心， AE 的长为半径画弧，交 AC 于点 B ． （ 2 ）在所画图中，点 B 是线段 AC 的黄金分割点吗？为什么？ 【答案】 （ 1 ）作图见解析；（ 2 ）是，理由见解析 【分析】 （ 1 ）根据几何语言画出对应的几何图形； （ 2 ）设 AC ＝ 1 ，则 DE ＝ DC ，利用勾股定理得到 AD ，所以 AE ，则 AB ，然后利用黄金分割的定义可判断点 B 是线段 AC 的黄金分割点． 解：（ 1 ）如图，点 B 为所作； （ 2 ）点 B 是线段 AC 的黄金分割点． 理由如下：设 AC ＝ 1 ，则 CD ， ∴DE ＝ DC ， ∵AD= ， ∴AE ＝ AD ﹣ DE ， ∴AB ， BC ， 即 ， ∴ 点 B 是线段 AC 的黄金分割点． 【点拨】 本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （ AC ＞ BC ），且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即 AB ： AC ＝ AC ： BC ），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关