专题
4.
36
相似三角形几何模型
-
双垂线等角
（知识讲解
）
【非共顶点双垂线等角模型】
【双垂线共顶点等角模型】
【双垂线共顶点等角模型拓展】
【典型例题】
类型一、
非共
顶点双
垂线等角模型
1
．
如图，在
中，
CD
是斜边
AB
上的高．
求证：
．
【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
解：
证明：如图，
∵
在
中，
CD
是斜边
AB
上的高
∴
∵
是公共角
∴
．
【点拨】
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．
举一反三
【变式
1
】
（
1
）问题情境：如图
1
，
Rt
中，
∠
ACB
＝
90°
，
CD
⊥
AB
，我们可以利用
与
相似证明
AC
2
＝
AD
•
AB
，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
（
2
）结论运用：如图
2
，正方形
ABCD
的边长为
6
，点
O
是对角线
AC
，
BD
的交点，点
E
在
CD
上，过点
C
作
CF
⊥
BE
，垂足为
F
，连接
OF
，
试利用
射影定理证明
．
【分析】
（
1
）由
AA
证
明
，再结合相似三角形对应边成比例即可解题；
（
2
）根据正方形的性质及射影
定理解
得
BC
2
＝
BO
•
BD
，
BC
2
＝
BF
•
BE
，再运用
SAS
证明
△
BOF
∽△
BED
即可．
证明：（
1
）如图
1
，
（
2
）如图
2
，
∵
四边形
ABCD
为正方形，
∴
OC
⊥
BO
，
∠
BCD
＝
90°
，
∴
BC
2
＝
BO
•
BD
，
∵
CF
⊥
BE
，
∴
BC
2
＝
BF
•
BE
，
∴
BO
•
BD
＝
BF
•
BE
，即
，
而
∠
OBF
＝
∠
EBD
，
∴△
BOF
∽△
BED
．
【点拨】
本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式
2
】
【问题情境】如图
1
，在
中，
，垂足为
D
，我们可以得到如下正确结论：
①
；
②
；
③
，这些结论是由
古希酷著
名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为
“
射影定理
”
，又称
“
欧几里德定理
”
．
(1)
请证明
“
射影定理
”
中的结论
③
．
(2)
【结论运用】如图
2
，正方形
的边长为
6
，点
O
是对角线
、
的交点，点
E
在
上，过点
C
作
，垂足为
F
，连接
．
①
求证：
．
②
若
，求
的长．
【答案】
(1)
见分析
；
(2)①
见分析
；
②
．
【分析】
（
1
）由
AA
证明
，再由相似三角形对应边
称比例
得到
，继而解题；
（
2
）
①
由
“
射影定理
”
分别解得
，
，整理出
，再
结合
即可证明
；
②
由勾股定理解得
，再根据
得到
，代入数值解题即可．
(1)
证明：
(2)①
四边形
ABCD
是正方形
②
在
中，
在
，
．
专题4.36 相似三角形几何模型-双垂线等角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx
