专题1.5 矩形的性质与判定（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

专题 1.5 矩形的性质与判定（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解矩形的概念； 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理； 3. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半； 4. 能力要求：利用矩形的性质解决折叠问题、最值问题、坐标系下的矩形问题。 【要点梳理】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 特别说明： 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 特别说明： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 特别说明： 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 特别说明： （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、 矩形性质的理解 1 ． 已知，如图，四边形 ABCD 是矩形， AD ＞ AB ． (1) 请用无刻度的直尺和圆规在 AD 上找一点 E ，使得 EC 平分 ∠ BED ；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2) 在（ 1 ）的条件下，若 AB ＝ 3 ， DE ＝ 1 ，求 △ BEC 的面积． 【答案】 (1) 见分析 (2)△ BEC 的面积为 7.5 ． 【分析】 （ 1 ）以 B 为圆心， BC 长为半径画弧交 AD 于点 E 即可； （ 2 ）由（ 1 ）可得 BC = BE ，设 BC =