专题6.7 反比例函数与面积问题（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

专题 6.7 反比例函数 与 面积问题（知识讲解） 【学习目标】 1 . 能根据反比例函数图象求出其面积，或据面积求出解析式； ． 2 . 掌握并运用 K 值的几何意义解决问题； ． 3 . 充分利用数形结合思想解决问题。 【要点梳理】 反比例函数 ( ) 中的比例系数 的 几何 意义 过双曲线 ( ) 上任意一点 作 轴、 轴 的 垂线 ， 所得矩形 的 面积为 . 过双曲线 ( ) 上任意一点 作一坐标轴的 垂线 ，连接该点和原点， 所得 三角形的 面积为 . 特别说明 ： 只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的 . 【典型例题】 类型一、 已知比例系数求特殊四边形面积 1 ． 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 B 在函数 y 1 ＝ （ x ＞ 0 ）的图象上，边 AB 与函数 y 2 ＝ （ x ＞ 0 ）的图象交于点 D ．求四边形 ODBC 的面积． 【答案】 3 【分析】根据反比例函数 k 的几何意义可知： △ AOD 的面积为 1 ，矩形 ABCO 的面积为 4 ，从而可以求出阴影部分 ODBC 的面积． 解： ∵ 点 D 是函数 y 2 ＝ （ x ＞ 0 ）图象上的一点， ∴△ AOD 的面积为 ， ∵ 点 B 在函数 y 1 ＝ （ x ＞ 0 ）的图象上，四边形 ABCO 为矩形， ∴ 矩形 ABCO 的面积为 4 ， ∴ 阴影部分 ODBC 的面积＝矩形 ABCO 的面积 -△ AOD 的面积＝ 4-1 ＝ 3 ， 故选： B ． 【点拨】 本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义． 举一反三： 【变式 1 】 如图，正比例函数 y ＝ kx(k>0) 与反比例函数 y ＝ 的图象相交于 A ， C 两点，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B ，连接 BC ，则 的面积等于多少？ 【答案】 4 【分析】由于点 A 、 C 位于反比例函数图象上且关于原点对称，则 S △ OBA =S △ OBC ，再根据反比例函数系数 k 的几何意义作答即可． 解： 因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值， 即 S= |k| ． 所以 △ABC 的面积等于 2× |k|=|k|=4 ． 【点拨】 主要考查了反比例函数 y ＝ 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为 |k| ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义． 图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= |k| ． 【变式 2 】 已知，反比例函数 和 的部分图象如图所示，点 P 在 上， PC