专题
3
.25
用勾股定理求最值常用方法专题
（
知识梳理与考点分类讲解
）
【方法一】
利用几何性质解决问题
【知识点1】
点和线之间，垂线段最短
【知识点2】
两点之间，线段最短（将军饮马问题）
【知识点3】
利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题
运用画圆解决问题有两种
类型
：
类型（
1
）
：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径）
，
类型 (
2
)
：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）
【方法二】
利用
代数方法
解决问题
【知识点1】
利用配方法求三次二项式的最值
【知识点2】
运用二次函数中顶点求最值
（以后学习）
代数方法较为常见，所以我们本
专题
不涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题
【
考点一
】
勾股定理
➼➻
垂线段最短求最值
【例1】
中，
，
，
，
，
为
的中点，直线
经过点
，过
作
于
，过
作
于
．则
的最大值为（
）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
解：
如图，过点
C
作
CK
⊥
l
于点
K
，过点
A
作
AH
⊥
BC
于点
H
，
在
Rt
△
AHB
中，
∵∠
ABC
=60°，
AB
=2，
∴
BH
=1，
AH
=
，
∵点
D
为
BC
中点，
∴
BD
=
CD
，
在△
BFD
与△
CKD
中，
，
∴△
BFD
≌△
CKD
（
AAS
），
∴
BF
=
CK
，
延长
AE
，过点
C
作
CN
⊥
AE
于点
N
，
可得
AE
+
BF
=
AE
+
CK
=
AE
+
EN
=
AN
，
在
Rt
△
ACN
中，
AN
＜
AC
，
当直线
l
⊥
AC
时，最大值为
，
综上所述，
AE
+
BF
的最大值为
，
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及勾股定理，垂线段最短，构建全等三角形是解答此题的关键．
【
举一反三
】
【变式1】
如图，
中，
，
，
，点
P
是
边上一动点，则线段
长度的最小值为（
）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据勾股定理得出
，当
时，
的值最小，利用面积法求解即可．
解：
在
中，
，
，
，
∴
，
∵当
时，
的值最小，
此时：
的面积为：
，
∴
，
∴
，
故选：C．
【点拨】
本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
【变式2】
如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（）
A．14
B．14.8
C．16
D．18
【答案】B
【分析】根据勾股定理可求出AC，由题意可知当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故利
专题3.25 用勾股定理求最值常用方法专题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx
