专题4.26 相似三角形几何模型-A型图（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

专题 4. 26 相似三角形几何模型 -A 型图（知识讲解） 相似三角形 A 型图类型： 图一 图二 图三 图四 类型一、 平行 A 字型 1 ． 如图，在 △ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC ＝ AC ， ∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ，点 E 是 AB 的中点，连接 EF ． 求证： △ AEF ∽△ ABD ； 填空： ① 若 BC ＝ 8 ， AC ＝ 5 ，则 EF ＝ _________ ； ② 若四边形 BDFE 的面积为 6 ，则 △ ABD 的面积为 _________ ． 【答案】 (1) 见分析 (2) ① ； ② 8 【分析】 （ 1 ）首先判定 △ ADC 是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点 F 是 AD 的中点，然后得到 EF 是 △ ABD 的中位线，进而可证明 △ AEF ∽△ ABD ； （ 2 ） ① 因为 EF 是 △ ABD 的中位线，所以 BD =2 EF ，求出 BD 的长即可得到 EF 的长； ② 根据（ 1 ）证得的平行可以判定 △ AEF ∽ ABD ，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的 △ ABD 的面积． （ 1 ）证明： ∵ CF 平分 ∠ ACB ， ∴∠ ACF =∠ BCF ，又 ∵ DC = AC ， ∴ CF 是 △ ACD 的中线， ∴ 点 F 是 AD 的中点，又 ∵ E 是 AB 的中点， ∴ EF 是 △ ABD 的中位线， ∴ EF ∥ BD ， ∴△ AEF ∽△ ABD ； （ 2 ）解： ①∵ EF 是 △ ABD 的中位线， ∴ EF = BD ， ∵ BC =8 ， AC =5 ， DC = AC ， ∴ BD = BC - CD =3 ， ∴ EF =1.5 ，故答案为 1.5 ； ②∵△ AEF ∽△ ABD ， ∴ S △ AEF ： S △ ABD =1 ： 4 ， ∴ S △ AEF ： S 四 边 形 BDFE =1 ： 3 ， ∵ 四边形 BDFE 的面积为 6 ， ∴ S △ AEF =2 ， ∴ S △ ABD = S △ AEF + S 四 边 形 BDFE =2+6=8 ，故答案为： 8 ． 【点拨】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证 EF 为中位线， S △ AEF ： S △ ABD =1 ： 4 ． 举一反三 【变式 1 】 如图，点 D ， E 在 BC 上，且 , 求证： 【分析】利用平行关系，找出对应角相等，即可证明相似． 证明： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ∴ ． 【点拨】 本题考查相似三角形的判定，解题关键找到需要的条件． 【变式 2 】 如图，在 △ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 BC 、 AC 边上， DE ∥ AC ， ∠ DEF ＝ ∠ A ．求证： △ BDE ∽△ EFC ． 【分析】根据 ，得出 ，根据 可判断 ， 可