专题4.29 相似三角形几何模型-X型图（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

专题 4. 29 相似三角形几何模型 -X 型图（知识讲解） 图一 图二 图三 类型一、 平行 X 字型（也称为 8 字型） 1 ． 如图，在 中，点 ， 分别在边 、 上， 与 相交于点 ，且 ， ， ．求证： ． 【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可． 解： ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】 本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 举一反三 【变式 1 】 如图， ∠1=∠2=∠3, 试找出图中两对相似三角形，并说明为什么 ? 【答案】 △AFD∽△EFB ， △ABC∽△ADE ；理由 见分析 . 【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可． 解： △AFD∽△EFB ， △ABC∽△ADE ． 理由如下： ∵∠2 ＝ ∠3 ， ∠AFD ＝ ∠EFB ∴△AFD∽△EFB ， ∴∠B ＝ ∠D ． ∵∠1 ＝ ∠2 ， ∴ ， ∴∠BAC ＝ ∠DAE ， ∴△ABC∽△ADE ． 【点拨】 本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形． 【变式 2 】 如图，直线 a∥b ，点 M 、 N 分别为直线 a 和直线 b 上的点，连接 M ， N ， ∠1 ＝ 70° ，点 P 是线段 MN 上一动点，直线 DE 始终经过点 P ，且与直线 a ， b 分别交于点 D 、 E ，设 ∠ NPE ＝ α ． （ 1 ）证明 △ MPD ∽△ NPE ． （ 2 ）当 △ MPD 与 △ NPE 全等时，直接写出点 P 的位置． （ 3 ）当 △ NPE 是等腰三角形时，求 α 的值． 【答案】（ 1 ） 见分析 ；（ 2 ）点 P 是 MN 的中点；（ 3 ） 40° 或 70° 或 55° 【分析】 (1) 利用相似三角形的判定定理证明即可； (2) 根据全等三角形对应边相等得到 MP ＝ NP ，即点 P 是 MN 的中点； (3) 需要分类讨论： PN ＝ PE 、 PE ＝ NE 、 PN ＝ NE ，再根据三角形内角和计算即可． (1) 证明： ∵ a∥b ， ∴△ MPD ∽△ NPE ． (2)∵ a∥b ， ∴∠ MDP ＝ ∠ NEP ， ∴ 当 △ MPD 与 △ NPE 全等时， MP ＝ NP ，即点 P 是 MN 的中点； (3)∵ a∥b ， ∴∠1 ＝ ∠ PNE ＝ 70° ， ① 若 PN ＝ PE 时， ∴∠ PNE ＝ ∠ PEN ＝ 70° ． ∴ a ＝ 180° ﹣ ∠ PNE ﹣ ∠ PEN ＝ 180° ﹣ 70° ﹣ 70° ＝ 40° ． ∴∠ a ＝ 40° ； ② 若 EP ＝ EN 时，则 a ＝ ∠ PNE ＝ 70° ； ③ 若 NP ＝ NE 时，则 ∠ PEN ＝ α ，此时 2 α ＝ 180° ﹣ ∠ PNE ＝ 110° ， ∴ α ＝ ∠ PEN ═55° ； 综上所述， α 的值是 40° 或 70° 或 55° ． 【点拨】 本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角