专题
1.9
正方
形的性质与判定（知识讲解）
【学习目标】
1
．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2
．掌握正方形的性质及判定方法．
【要点梳理】
定义：
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2
、性质：
（
1
）正方形具有菱形和矩形的所有性质。
（
2
）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
（
3
）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
（
4
）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。
3
、判定：
（
1
）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（
2
）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（
3
）有一个角是直角的菱形是正方形。
（
4
）对角线相等的菱形是正方形。
4
、面积：正方形
面积
=
边长的平方；正方形
面积
=
对角线乘积的一半
5
、
中点四边形
（
1
）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
.
（
2
）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
.
（
3
）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
.
（
4
）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形
.
【典型例题】
类型一、
据正方形性质求角的大小、线段的长及面积
1
．
如图，已知
、
分别是正方形
边
、
边上的动点，
，
．
（
1
）求证：
；
（
2
）设
的面积为
，
的长为
．试求出
与
之间的函数表达式．
【答案】（
1
）
见分析
；（
2
）
【分析】
（
1
）由正方形的性质可得到
AB
=
AD
，
，运用
HL
证明
即可得到结论；
（
2
）由（
1
）可得
BE
=
DF
，进而得
CF
=
CE
，根据
可得结论．
解：
（
1
）
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB
=
AD
=
BC
，
又
∴
（
HL
）
∴
;
（
2
）由（
1
）知，
∴
BE
=
DF
又
BC
=
DC
∴
CE
=
CF
=
x
∴
BE
=
DF
=6-
x
∴
=
【点拨】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及三角形面积公式等知识，得到
是解答此题的关键．
【变式
1
】
在正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边延长线上的一点，且
CE
=
BD
，则
∠
AEC
=
（
）
A
．
30
度
B
．
67.5
度
C
．
22.5
度
D
．
30
度
【答案】
C
【分析】先连接
AC
，根据正方形的性质，得出
AC
=
EC
，进而得到
∠
E
=∠
CAF
，再根据平行线的性质，得出
∠
E
=∠
DAF
，最后根据
∠
CAD
=45°
，求得
∠
AEC
的度数．
解：
如图，连接
AC
，
则正方形
ABCD
中，
AC
=
BD
，
∵
CE
=
BD
，
∴
AC
=
EC
，
∴∠
E
=∠
CAF
，
∵
AD
EC
，
∴∠
专题1.9 正方形的性质与判定（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx
