专题4.32 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

专题 4 . 32 相似三角形几何模型 - 一线三等角 （ 知识讲解 ） 模型 一 ：一线三直角 图一 图二 模型二：一线三等角 图三 图四 图五 图六 【典型例题】 类型一、 一线三直角模型 1 ． 如图，在四边形 ABCD 中， AB CD ， ， ， E 为 BC 上一点，且 ，若 ， ，求 AB 的长． 【答案】 【分析】由题意易知 AB 和 CD 所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度． 解： ∵ AB 平行 CD ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点拨】 此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用． 举一反三 【变式 1 】 如图，将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处， AB=8 ， BC=10 ． （ 1 ）求证： △AEF∽△DFC ； （ 2 ）求线段 EF 的长度． 【答案】（ 1 ）证明 见分析 ；（ 2 ） ． 【分析】 （ 1 ）由四边形 ABCD 是矩形，于是得到 ∠ A =∠ D =∠ B =90° ，根据折叠的性质得 ∠ EFC =∠ B =90° ，推出 ∠ AEF =∠ DFC ，即可得到结论； （ 2 ）根据折叠的性质得 CF = BC =10 ，根据勾股定理得到 ，求得 AF =4 ，然后根据勾股定理列方程即可得到结论． 解： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A =∠ D =∠ B =90° ， CD = AB =8 ， 根据折叠的性质得 ∠ EFC =∠ B =90° ， ∴∠ AFE +∠ AEF =∠ AFE +∠ DFC =90° ， ∴∠ AEF =∠ DFC ， ∴△ AEF ∽△ DFC ； （ 2 ）根据折叠的性质得： CF = BC =10 ， BE = EF ， ∴ ， ∴ AF =4 ， ∵ AE = AB - BE =8- EF ， ∴ EF 2 = AE 2 + AF 2 ， 即 EF 2 = （ 8- EF ） 2 +4 2 ， 解得： ． 【点拨】 本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答． 【变式 2 】 如图 1 ，在矩形 中， 为 边上一点，把 沿 翻折，使点 恰好落在 边上的点 处． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若 ， ，求 的长； （ 3 ）如图 2 ，在第（ 2 ）问的条件下，若 ， 分别是 ， 上的动点，求 的最小值． 【答案】（ 1 ） 见分析 ；（ 2 ） ；（ 3 ） 的最小值为 ． 【分析】 （ 1 ） 选证得 ，即可证明结论； （ 2 ）利用折叠的性质，在 Rt △ ABF 中，求得 BF 的长，设 CE = x ，在 Rt △ CEF 中，利用勾股定理构建关于 x 的方程，即可求解； （ 3 ）根据折叠的