2023—2024
学年度茂名市五校联盟高二联考
数学试题
本试卷共
4
页,
19
题
.
全卷满分
150
分
.
考试用时
120
分钟
.
注意事项:
1.
答题前,先将自己的姓名
、
准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置
.
2
,选择题的作答:每小题选出答案后,用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
.
写在试题卷
、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
.
3.
非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内
.
写在试题卷
、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
.
4.
考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交
.
一
、
选择题(本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.
已知直线
的方程为
,则直线
的倾斜角为(
)
A.
B.
C.
D.
2.
已知等比数列
中,
,等差数列
中,
,则数列
的前
9
项和
(
)
A.9 B.18 C.36 D.72
3.
若函数
在
处的切线方程为
,则不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
4.
已知圆
,直线
.
则直线
被圆
截得的弦长的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.
如图,二面角
等于
是棱
上两点,
分别在半平面
内,
,且
,则
(
)
A.
B.
C.
D.4
6.
双曲线
的左
、
右焦点分别为
,点
是双曲线左支上一点,
,直线
交双曲线的另一支于点
,则双曲线的离心率为(
)
A.2 B.
C.3 D.9
7.
已知
是自然对数的底数,设
,则(
)
A.
B.
C.
D.
8.
已知正四棱锥的侧棱长为
,其各顶点都在同一球面上
.
若该球的表面积为
,且
,则该正四棱锥体积的最大值是(
)
A.18 B.
C.
D.27
二
、
多选题(本题共
3
小题,每小题
6
分,共
18
分
.
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求
.
全部选对的得
6
分,部分选对的得部分分,有选错的得
0
分)
9.
正方体
的棱长为
分别为
的中点,则(
)
A.
直线
与直线
垂直
B.
直线
与平面
平行
C.
平面
截正方体所得的截面面积为
D.
点
和点
到平面
的距离不相等
10.
已知
,则(
)
A.
的值域为
B.
时,
恒有极值点
C.
恒有零点
D.
对于
恒成立
11.
如图,已知直线
与抛物线
交于
两点,且
交
于点
,则(
)
A.
若点
的坐标为
,则
B.
直线
恒过定点
C.
点
的轨迹方程为
D.
的面积的最小值为
三
、
填空题(本题共
3
小题,每小题
5
分,共
15
分)
12.
已知函数
,若方程
有
2
个不同的实根,则实数
的取值范围是
__________.
13.
下图是瑞典数学家科赫在
1904
年构造的能够描述雪花形状的图案,图形的作法是:从一正三角形开始,把每条边三等分,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,反复进行这一过程,就得到一条
“
雪花
”
状的曲线
.
若第
1
个图中的三角形的周长为
1
,则第
个图形的周长为
若第
1
个图中的三角形的面积为
1
,则第
个图形的面积为
__________.
14.
已知
是圆
上的两个不同的点,若
,则
的取值范围为
__________.
四
、
解答题本题共
5
小题,共
77
分
.
解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
.
15.
(本小题满分
13
分)
某市为了了解人们对
“
中国梦
”
的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次
“
一带一路
”
知识竞赛,满分
100
分(
95
分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有
m
人,按年龄分成
5
组,其中第一组:
,第二组:
,第三组:
,第四组:
,第五组
,得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有
10
人
.
(
1
)根据频率分布直方图,求
m
的值并估计这
m
人年龄的第
80
百分位数;
(
2
)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取
20
人,担任本市的
“
中国梦
”
宣传使者
.
①
若有甲(年龄
38
),乙(年龄
40
)两人已确定入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取
2
名作为组长,求甲
、
乙两人至少有一人被选上的概率;
②
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为
37
和
,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为
43
和
1
,据此估计这
m
人中
35~45
岁所有人的年龄的方差
.
16.
(本小题满分
15
分)
已知数列
满足:
.
(
1
)求数列
的通项公式;
(
2
)若数列
的首项为
1
,其前
项和
满足
,证明:若
.
17.
(本小题满分
15
分)
如图所示,在四棱锥
中,侧面
底面
,底面
为直角梯形,其中
为
的中点
.
(
1
)求直线
与平面
所成角的余弦值;
(
2
)求
点到平面
的距离;
(
3
)线段
上是否存在一点
,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由
.
18.
(本小题满分
17
分)
已知椭圆
的左
、
右焦点分别为
,该椭圆的离心率为
,且椭圆上动点
与点
的最大距离为
3.
(
1
)求椭圆
的标准方程;
(
2
)如图,若直线
与
轴
、
椭圆
顺次交于
(点
在椭圆左顶点的左侧),且
,求
面积的最大值
.
19.
(本小题满分
17
分)
已知函数
.
(
1
)讨论
的单
广东茂名市五校联盟2023-2024学年高二下学期3月联考试题 数学.docx