第21章 一元二次方程（知识清单+典型例题）-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）.docx

第 21 章 一元二次方程 （知识清单 + 典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一元二次方程的定义 （ 1 ）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程． （ 2 ）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ① 整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数是 2 ． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方面： “ 化简后 ” ； “ 一个未知数 ” ； “ 未知数的最高次数是 2” ； “ 二次项的系数不等于 0” ； “ 整式方程 ” ． 【例 1 】（ 2022 秋 • 镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A ． B ． x 2 +2 x +3 ＝ x （ x +1 ） C ． 2 x +3 y ＝ 6 D ． x 2 ﹣ 2 x +3 ＝ 0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解： A ．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B ．由原方程变形得到： x +3 ＝ 0 ，该方程是关于 x 的一元一次方程，故本选项不符合题意； C ．方程 2 x +3 y ＝ 6 中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D ．方程 x 2 ﹣ 2 x +3 ＝ 0 是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选： D ． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程． 【变式】（ 2023• 大连一模）若方程 kx 2 ﹣ 2 x +1 ＝ 0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是（　　） A ． k ＞ 0 B ． k ≠0 C ． k ＜ 0 D ． k 为实数 【分析】根据是一元二次方程的条件：二次项系数不为 0 ，即可确定 k 的取值范围． 【解答】解：根据题意得： k ≠0 ． 故选： B ． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax 2 + bx + c ＝ 0 （ a ≠0 ）．特别要注意 a ≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 一元二次方程的一般形式 （ 1 ）一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中 ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项； c 叫做常数项．一次项系数 b 和常数项 c 可取任意实数，二次项系数 a 是不等于 0 的实数，这是因为当 a=0 时，方程