必刷大题
20
概率与统计
1
．
(
2023·
汕头模拟
)
袋中装着标有数字
1
,
2
,
3
,
4
的小球各
3
个
，
从袋中任取
3
个小球
，
每个小球被取出的可能性都相等
．
(
1
)
求取出的
3
个小球上的数字互不相同的概率
；
(
2
)
用
X
表示取出的
3
个小球上所标的最大数字
，
求随机变量
X
的分布列和数学期望
．
解
(
1
)
“
一次取出的
3
个小球上的数字互不相同
”
的事件记为事件
A
，
则
P
(
A
)
＝
＝
.
(
2
)
由题意知，
X
所有可能的取值为
1
,
2
,
3
,
4
，
P
(
X
＝
1
)
＝
＝
，
P
(
X
＝
2
)
＝
＝
，
P
(
X
＝
3
)
＝
＝
＝
，
P
(
X
＝
4
)
＝
＝
＝
.
所以随机变量
X
的分布列为
X
1
2
3
4
P
随机变量
X
的数学期望为
E
(
X
)
＝
1
×
＋
2
×
＋
3
×
＋
4
×
＝
.
2
．
(
2023·
邵阳模拟
)
某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况
，
随机选取了
100
名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价
，
已知被选取的观众中
“
男性
”
与
“
女性
”
的人数之比为
9
∶
11
，
评价结果分为
“
喜欢
”
和
“
不喜欢
”
，
并将部分评价结果整理如下表所示
．
性别
评价
合计
喜欢
不喜欢
男性
15
女性
合计
50
100
(
1
)
根据所给数据
，
完成上面的
2
×
2
列联表
；
(
2
)
依据小概率值
α
＝
0.005
的独立性检验
，
能否认为性别因素与评价结果有关系
？
(
3
)
电视台计划拓展男性观众市场
，
现从参与评价的男性中
，
用按比例分配的分层随机抽样的方法选取
3
人
，
进行节目
“
建言
”
征集奖励活动
，
其中评价结果为
“
不喜欢
”
的观众
“
建言
”
被采用的概率为
，
评价结果为
“
喜欢
”
的观众
“
建言
”
被采用的概率为
，
“
建言
”
被采用奖励
100
元
，
“
建言
”
不被采用奖励
50
元
，
记
3
人获得的总奖金为
X
，
求
X
的分布列及数学期望
．
附：
χ
2
＝
.
α
0.010
0.005
0.001
x
α
6.635
7.879
10.828
解
(
1
)
男性有
100
×
＝
45
(
人
)
，女性有
100
－
45
＝
55
(
人
)
，然后可得下表：
性别
评价
合计
喜欢
不喜欢
男性
15
30
45
女性
35
20
55
合计
50
50
100
(
2
)
零假设为
H
0
：性别因素与评价结果无关
．
χ
2
＝
＝
≈
9.091
，
因为
χ
2
>7.879
＝
x
0.005
，
所以根据小概率值
α
＝
0.005
的独立性检验，我们推断零假设
H
0
不成立，即认为评价结果与性别有关系
．
(
3
)
由题意得选取的
3
人中，评价结果为
“
喜欢
”
的有
1
人，
“
不喜欢
”
的有
2
人，
所以
X
的所有可能取值为
150
,
200
,
250
,
300
，
则
P
(
X
＝
150
)
＝
×
×
＝
，
P
(
X
＝
200
)
＝
×
2
＋
2
×
×
×
＝
，
P
(
X
＝
250
)
＝
2
×
×
×
＋
×
2
＝
，
P
(
X
＝
300
)
＝
×
×
＝
，
所以
X
的分布列为
X
150
200
250
300
P
数学期望为
E
(
X
)
＝
150
×
＋
200
×
＋
250
×
＋
300
×
＝
.
3
．
(
2023·
南京模拟
)
综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一
．
某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价
．
如图是该校高三学生
“
运动与
健康
”
评价结果的频率分布直方图
，
评分在区间
[
90
,
100
]
，
[
70
,
90
)
，
[
60
,
70
)
，
[
50
,
60
)
上
，
分别对应为
A
，
B
，
C
，
D
四个等级
．
为了进一步引导学生对运动与健康的重视
，
初评获
A
等级的学生不参加复评
，
等级不变
，
对其余学生学校将进行一次复评
．
复评中
，
原获
B
等级的学生有
的概率提升为
A
等级
，
原获
C
等级的学生有
的概率提升为
B
等级
，
原获
D
等级的学生有
的概率提升为
C
等级
．
用频率估计概率
，
每名学生复评结果相互独立
．
(
1
)
若初评中甲获得
B
等级
，
乙
、
丙获得
C
等级
，
记甲
、
乙
、
丙三人复评后等级为
B
等级的人数为
ξ
，
求
ξ
的分布列和数学期望
；...
第十章 必刷大题20 概率与统计.docx
