§10.8
概率
、
统计与其他知识的交汇问题
重点解读
有关概率
、
统计与其他知识相交汇的考题
，
能体现
“
返璞归真
，
支持课改
；
突破定势
，
考查真功
”
的命题理念
，
是每年高考的必考内容
．
近几年将概率
、
统计问题与数列
、
函数
、
导数结合
，
成为创新问题
．
题型一 概率、统计与数列的综合问题
例
1
(
12
分
)
(
2023·
新高考全国
Ⅰ
)
甲
、
乙两人投篮
，
每次由其中一人投篮
，
规则如下
：
若命中则此人继续投篮
，
若未命中则换为对方投篮
．
无论之前投篮情况如何
，
甲每次投篮的命中率均为
0.6
，
乙每次投篮的命中率均为
0.8.
由抽签确定第
1
次投篮的人选
，
第
1
次投篮的人是甲
、
乙的概率各为
0.5.
(
1
)
求第
2
次投篮的人是乙的概率
；
(
2
)
求第
i
次投篮的人是甲的概率
；
[
切入点：
p
i
＋
1
与
p
i
之间的关系
]
(
3
)
已知
：
若随机变量
X
i
服从两点分布
，
且
P
(
X
i
＝
1
)
＝
1
－
P
(
X
i
＝
0
)
＝
q
i
，
i
＝
1
,
2
，
…
，
n
，
则
E
(
i
)
＝
i
.
记前
n
次
(
即从第
1
次到第
n
次投篮
)
中甲投篮的次数为
Y
，
求
E
(
Y
)
．
[
关键点：利用给出的公式推出
E
(
Y
)
＝
i
]
[
思路分析
]
(
1
)
利用全概率公式
(
2
)
寻求
p
i
＋
1
与
p
i
之间的关系，构造等比数列
(
3
)
根据结论及等比数列的求和公式求解
解
(
1
)
记
“
第
i
次投篮的人是甲
”
为事件
A
i
，
“
第
i
次投篮的人是乙
”
为事件
B
i
，
(
1
分
)
所以
①
处写出
P
(
B
2
)
的概率计算公式
＝
0.5
×
(
1
－
0.6
)
＋
0.5
×
0.8
＝
0.6.
(
3
分
)
(
2
)
设
P
(
A
i
)
＝
p
i
，依题可知，
P
(
B
i
)
＝
1
－
p
i
，
则
(
5
分
)
②
处写出
P
(
A
i
＋
1
)
的概率计算公式
即
③
处写出
p
i
＋
1
与
p
i
的关系
构造等比数列
{
p
i
＋
λ
}
，设
p
i
＋
1
＋
λ
＝
(
p
i
＋
λ
)
，解得
λ
＝－
，
则
(
7
分
)
④
处构造出等比数列
又
p
1
＝
，
p
1
－
＝
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
p
i
－
＝
×
i
－
1
，
(
9
分
)
⑤
处计算出
p
i
(
3
)
因为
p
i
＝
×
i
－
1
＋
，
i
＝
1
,
2
，
…
，
n
，
所以当
n
∈
N
*
时，
E
(
Y
)
＝
p
1
＋
p
2
＋
…
＋
p
n
＝
×
＋
＝
＋
，
⑥
处利用题干结论计算
E
(
Y
)
故
E
(
Y
)
＝
＋
.
(
12
分
)
思维升华
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前
n
项和，解题时要准确把
第十章 §10.8 概率、统计与其他知识的交汇问题.docx
