2025
年高三专项训练：圆锥曲线中的探究性问题
一、单选题
1
.
已知曲线
，对于命题：
垂直于
轴的直线与曲线
有且只有一个交点；
若
，
为曲线
上任意两点，则有
下列判断正确的是
．
A.
和
均为真命题
B.
和
均为假命题
C.
为真命题，
为假命题
D.
为假命题，
为真命题
2
.
如图
，某家用电暖器是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面
抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面
，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径
图
是该电暖器的轴截面，防护罩的宽度
等于热馈源
到口径
的距离，已知口径长为
，防护罩宽为
，则顶点
到防护罩外端
的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
3
.
已知椭圆和双曲线有共同的焦点
，
，
，
分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，则
等于
( )
A.
B.
C.
D.
4
.
已知点
是椭圆
上一点，
，
分别是圆
和圆
上的点，那么
的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
5
.
已知点
是双曲线
下支上的一点，
、
分别是双曲线的上、下焦点，
是
的内心，且
，则双曲线的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
6
.
如图，已知点
在焦点为
、
的椭圆上运动，则与
的边
相切，且与边
，
的延长线相切的圆的圆心
一定在
( )
A.
一条直线上
B.
一个圆上
C.
一个椭圆上
D.
一条抛物线上
7
.
平面直角坐标系中有两点
和
以
为圆心，正整数
为半径的圆记为
以
为圆心，正整数
为半径的圆记为
对于正整数
，点
是圆
与圆
的交点，且
，
，
，
，
都位于第二象限
则这
个点都在同一
( )
A.
直线上
B.
椭圆上
C.
抛物线上
D.
双曲线上
二、多选题
8
.
设点
为曲线
：
上一点，
，
异于点
是曲线上关于坐标原点对称的两点．设直线
，
的斜率分别为是
，
，且
，则关于该曲线的下列结论正确的是
( )
A.
当
时，曲线
为圆
B.
当
时，曲线
为焦点在
轴上的双曲线
C.
当
时，曲线
为焦点在
轴上的椭圆
D.
当
时，曲线
为焦点在
轴上的椭圆
9
.
椭圆
：
的左右焦点分别为
，
为坐标原点，以下说法正确的是
( )
A.
过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，则
的周长为
B.
椭圆
上存在点
，使得
C.
椭圆
的离心率为
D.
为椭圆
上一点，
为圆
上一点，则线段
的最大长度为
10
.
椭圆
：
的左右焦点分别为
，
，
为坐标原点，以下说法正确的是
( )
A.
过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，则
的周长为
B.
椭圆
上存在点
，使得
C.
椭圆
的离心率为
D.
为椭圆
上一点，
为圆
上一点，则线段
的最大长度为
11
.
已知抛物线
，过焦点
的动直线
交抛物线于
，
两点，抛物线在
，
两点处的切线交于点
，则
( )
A.
点
在准线
上
B.
C.
，
，
三点的横坐标依次成等比数列
D.
三、解答题
12
.
已知双曲线
的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为
，过点
．
求双曲线
的标准方程；
是否存在被点
平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
13
.
已知直线
与抛物线
交于
，
两点，且线段
恰好被点
平分．
求直线
的方程；
抛物线上是否存在点
和
，使得
，
关于直线
对称？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
14
．
设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
的离心率为
短轴长为
．
求椭圆
的方程：
过点
的直线
交椭圆
于
，
两点，是否存在实数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
15
.
本小题
分
已知抛物线
：
的焦点为
，直线
：
与
交于
，
两点．
求
的方程．
求
的取值范围．
设点
，试问是否存在
，使得
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
16
.
已知椭圆
：
，点
、
分别是椭圆
的左焦点、左顶点，过点
的直线
不与
轴重合
交椭圆
于
，
两点．
求椭圆
的标准方程；
若
，求
的面积；
是否存在直线
，使得点
在以线段
为直径的圆上，若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
17
.
已知直线
与抛物线
交于
，
两点，且与
轴交于点
，过点
，
分别作直线
的垂线，垂足依次为
，
，动点
在
上
当
，且
为线段
的中点时，证明：
；
记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，是否存在
实数
，使得
？若...
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