§10.6
二项分布
、
超几何分布与正态分布
课标要求
1.
理解二项分布
、
超几何分布的概念
，
能解决一些简单的实际问题
.2.
借助正态曲线了解正态分布的概念
，
并进行简单应用
．
知识梳理
1
．
二项分布
(
1
)
伯努利试验
只包含
两个
可能结果的试验叫做伯努利试验
；
将一个伯努利试验独立地重复进行
n
次所组成的随机试验称为
n
重伯努利试验．
(
2
)
二项分布
一般地
，
在
n
重伯努利试验中
，
设每次试验中事件
A
发生的概率为
p
(
0<
p
<1
)
，
用
X
表示事件
A
发生的次数
，
则
X
的分布列为
P
(
X
＝
k
)
＝
C
p
k
(
1
－
p
)
n
－
k
，
k
＝
0
,
1
,
2
，
…
，
n
.
如果随机变量
X
的分布列具有上式的形式
，
则称随机变量
X
服从二项分布
，
记作
X
～
B
(
n
，
p
)
．
(
3
)
两点分布与二项分布的均值
、
方差
①
若随机变量
X
服从两点分布
，
则
E
(
X
)
＝
p
，
D
(
X
)
＝
p
(
1
－
p
)
．
②
若
X
～
B
(
n
，
p
)
，
则
E
(
X
)
＝
np
，
D
(
X
)
＝
np
(
1
－
p
)
．
2
．
超几何分布
一般地
，
假设一批产品共有
N
件
，
其中有
M
件次品
．
从
N
件产品中随机抽取
n
件
(
不放回
)
，
用
X
表示抽取的
n
件产品中的次品数
，
则
X
的分布列为
P
(
X
＝
k
)
＝
，
k
＝
m
，
m
＋
1
，
m
＋
2
，
…
，
r
，
其中
n
，
N
，
M
∈
N
*
，
M
≤
N
，
n
≤
N
，
m
＝
max{0
，
n
－
N
＋
M
}
，
r
＝
min{
n
，
M
}
．
如果随机变量
X
的分布列具有上式的形式
，
那么称随机变量
X
服从超几何分布
．
3
．
正态分布
(
1
)
定义
若随机变量
X
的概率分布密度函数为
f
(
x
)
＝
，
x
∈
R
，
其中
μ
∈
R
，
σ
>0
为参数
，
则称随机变量
X
服从正态分布
，
记为
X
～
N
(
μ
，
σ
2
)
．
(
2
)
正态曲线的特点
①
曲线是单峰的
，
它关于直线
x
＝
μ
对称
；
②
曲线在
x
＝
μ
处达到峰值
；
③
当
|
x
|
无限增大时
，
曲线无限接近
x
轴
．
(
3
)
3
σ
原则
①
P
(
μ
－
σ
≤
X
≤
μ
＋
σ
)
≈
0.682
7
；
②
P
(
μ
－
2
σ
≤
X
≤
μ
＋
2
σ
)
≈
0.954
5
；
③
P
(
μ
－
3
σ
≤
X
≤
μ
＋
3
σ
)
≈
0.997
3.
(
4
)
正态分布的均值与方差
若
X
～
N
(
μ
，
σ
2
)
，
则
E
(
X
)
＝
μ
，
D
(
X
)
＝
σ
2
.
常用结论
1
．
“
二项分布
”
与
“
超几何分布
”
的区别
：
有放回抽取问题对应二项分布
，
不放回抽取问题对应超几何分布
，
当总体容量很大时
，
超几何分布可近似为二项分布来处理
．
2
．
超几何分布有时也记为
X
～
H
(
n
，
M
，
N
)
，
其均值
E
(
X
)
＝
，
方差
D
(
X
)
＝
.
自主诊断
1
．
判断下列结论是否正确
．
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(
1
)
两点分布是二项分布当
n
＝
1
时的特殊情形
．
(
√
)
(
2
)
若
X
表示
n
次重复抛掷
1
枚骰子出现点数是
3
的倍数的次数，则
X
服从二项分布
．
(
√
)
(
3
)
从装有
3
个红球、
3
个白球的盒中有放回地任取一个球，连取
3
次，则取到红球的个数
X
服从超几何分布
．
(
×
)
(
4
)
当
μ
取定值时，正态曲线的形状由
σ
确定，
σ
越小，曲线越
“
矮胖
”
．
(
×
)
2
．
如果某一批玉米种子中
，
每粒发芽的概率均为
，
那么播下
5
粒这样的种子
，
恰有
2
粒不发芽的概率是
(
)
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
用
X
表示发芽的粒数，则
X
～
B
，则
P
(
X
＝
3
)
＝
C
×
3
×
2
＝
，故播下
5
粒这样的种子，恰有
2
粒不发芽的概率为
.
3
．
某班有
48
名同学
，
一次考试后的数学成绩服从正态分布
N
(
80
,
10
2
)
，
则理论上在
80
分到
90
分的人数约是
(
)
A
．
32
B
．
16
C
．
8
D
...
第十章 §10.6 二项分布、超几何分布与正态分布.docx
