（数学试卷）辽宁部分名校2024-2025学年高二上学期联合质量检测试题(含参考解析)

辽宁省部分名校 2024-2025 学年高二上学期联合质量检测 数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 十三棱锥的顶点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 十三棱锥的顶点的个数为 . 故选 ： B . 2. 已知空间向量 ， . 若 ，则 （ ） A. 12 B. 10 C. D. 【答案】 A 【解析】 因为 ，所以有： ， 解得 ， ，所以 . 故选： A. 3. 已知 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ， A 错误 . 设 ， 不共面，所以不存在 使其成立，故三个向量不共面， B 正确 . 错误 . 错误 . 故选 :B . 4. 在空间直角坐标系中，已知 ， ， 为整数，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 C 【解析】 ∵ ， ， ∴ ， ∴ 当 时， 为增函数， ∴ ， ∵ 为整数， ∴ 的最小值为 ， 故选： C. 5. 某三棱锥的体积为 ，表面积为 ，则该三棱锥的内切球的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 设该三棱锥的体积为 ，表面积为 ，该三棱锥的内切球的半径为 ， 则 ，所以 ， 故该三棱锥的内切球的直径为 . 故选： B. 6. 已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 设 与 的夹角为 ，由 ，得 ， 两边同时平方得 ， 所以 1 ，解得 ， 又 ，所以 . 故选： D . 7. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用 “ 曲率 ” 刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制） . 例如：正四面体每个顶点均有 3 个面角，每个面角均为 ，则其各个顶点的曲率均为 . 若正四棱锥 的侧面与底面所成角的正切值为 ，则四棱锥 在顶点 处的曲率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如图，连接 ， ，设 ，连接 ，则 平面 ， 取 的中点 ，连接 ， ， 则由正四棱锥的结构特征可知 ， 所以 为侧面与底面所成的角， 设 ，则 ， 在 中， ， 所以 ，又 ，所以 ， 所以正四棱锥 的每个侧面均为正三角形， 所以顶点 每个面角均为 ， 故正四棱锥 在顶点 处的曲率为 . 故选： D. 8. 在三棱锥 中， 为 的重心， ， 若 交平面 于点 ，且 ，则 的最小值为 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】 C 【解析】 ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四点共面， ∴