四川省成都市2024年中考数学一轮复习第12讲 旋转的模型.docx

第12讲 旋转的模型 常考题型： 旋转的概念 ： 将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角. 旋转三要素： 旋转中心、旋转方 向 和旋转角度. 旋转的性质 ： 一个图形与它旋转后所得到的图形： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等. 注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转. 旋转作图 ： 在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 具体步骤如下： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺/逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的对应点. 旋转中的全等变换（半角模型、对角互补模型、全等模型等）. （1）等腰直角三角形中的半角模型 △ABD≌△ACE′；△ADE≌△AEE′；∠BCE′=90°； . （2）正方形中的半角模型 △ABE≌△ADE′；△AFE≌△AFE′；EF=BE+DF；△CEF周长为正方形边长的两倍即2AB. 自旋转模型 ： 有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等. （1）60º 自旋转 模型 （2）90º 自旋转 模型 （3）等腰旋转模型 （4）中点旋转模型（倍长中线模型） 共旋转模型 （1）等边三角形共顶点旋转模型 （2）正方形共顶点旋转模型 旋转相似 费马点 是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小 于 120 °，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120 °，则此钝角的顶点就是到三个顶 点距离之和最小的点． （ 1 ） 若三角形有一个内角大于等于 120 °，则此钝角的顶点即为该三角形的费马 点 如图在△ ABC 中，∠ BAC ≥ 120 °，求证：点 A 为△ ABC 的费马点 证明 ： 如图，在△ ABC 内有一点 P 延长 BA 至 C ′ ，使得 AC ′ ＝ AC ，作∠ CAP ′ ＝ ∠ CAP ，并且使得 AP ′ ＝ AP ，连结 PP ′. 则△ APC ≌△ APC ， PC ＝ PC 因为∠ BAC ≥ 120 ° 所以∠ PAP ′ ＝∠ CAC ′ ≤ 60 ° 所以在等腰△ PAP 中， AP ≥ PP ′ 所以 PA ＋ PB ＋ PC ≥ PP ′ ＋ PB ＋ PC ＞ BC ＝ AB ＋ AC 所以点 A 为△ ABC 的费马点 。 （ 2 ） 若三角形的内角均小于 120 °，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形