专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

专题06 二次函数与 等腰三角形有关的问题 （知识解读） 【专题说明】 二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用 。 【 解题思路】 等腰三角形的存在性问题 【方法1 几何法】 “ 两圆一线 ” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有重合的情况，则需排除． 以点 C 1 为例，具体求点坐标： 过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1， 又 类似可求点 C 2 、 C 3 、 C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法． 【方法2 代数法】点 - 线 - 方程 表示点：设点 C 5 坐标为 ( m ,0 ) ，又 A （ 1,1 ）、 B （ 4,3 ）， 表示线段： 联立方程： ， ， 总结： 【典例分析】 【 考点1 等腰角形的存在性】 【 典例1】 （20 20 •泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c 交 x 轴于点 A （﹣4，0）、 B （2，0），交 y 轴于点 C （0，6），在 y 轴上有一点 E （0，﹣2），连接 AE ． （1）求二次函数的表达式； （ 2 ）抛物线对称轴上是否存在点 P ，使△ AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不存在，请说明理由． 【 变式11】 （2022•澄海区模拟）如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ，点 A 的坐标为（﹣1，0），点 C 坐标为（0，3），对称轴为 x ＝1．点 M 为线段 OB 上的一个动点（不与两端点重合），过点 M 作 PM ⊥ x 轴，交抛物线于点 P ，交 BC 于点 Q ． （1）求抛物线及直线 BC 的表达式； （ 2 ）试探究点 M 在运动过程中，是否存在这样的点 Q ，使得以 A ， C ， Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【 变式1-2】 （2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax 2 + x + c （ a ≠0）与 x 轴交于 A （﹣1，0）， B （4，0），与 y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式； （ 2 ）将抛物线 y ＝ ax 2 + x + c 沿射线 BC 平移， B ， C 的对应点分别为 M ， N ，当以点 A ， M ， N 为顶点的三角形是以 MN 为腰的